投稿日 11/6/2019最終更新日 11/6/2019

# 用途

多角形の頂点の座標と点が与えられて、その点が多角形に内包されるか否か、あるいは多角形の辺上に位置するかを判定するアルゴリズム.

# アルゴリズム

多角形を $P$ 、点を $p$ 、点から辺 $e$ の始点終点へのベクトルを、 $y$ 座標が小さい順に $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ とおく.

# 辺上に位置することの判定

多角形の辺上にあるのは以下の条件を満たす時である.
つまり、多角形の辺のうち、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が正反対を向くような辺 $e$ が存在する.

\exists e \{e \in P, \vec{a} \times \vec{b} = 0, \vec{a} \cdot \vec{b} < 0\}

# 内包判定

内包されているかどうかは点から右に半直線を出し、何回多角形の辺と交差するかで判定できる.
奇数回なら内包、偶数回なら内包されない.

半直線と辺が交差する判定は、以下２点を両方満たすかどうかでわかる.

辺の始点終点がそれぞれ半直線の上部と下部に分かれて位置する.
円と半直線の交点が $p$ より右側にある.

1は単純にベクトルのy座標でわかる.
2は $\vec{b}$ が $\vec{a}$ の反時計回りの位置にあるかどうかで分かる.
反時計回りなら外積が正となる.

|\{e|e \in P, a.y \leq 0, b.y \geq 0, \vec{a} \times \vec{b}\}| \equiv 1 (\mod 2)

# コード

N角形

返り値の仕様

2: 内包
1: 辺上
0: 内包ではない

C++

// C++ 14
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <list>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <math.h>

#define ll long long
#define Int int
#define loop(x, start, end) for(Int x = start; x < end; x++)
#define loopdown(x, start, end) for(int x = start; x > end; x--)
#define rep(n) for(int x = 0; x < n; x++)
#define span(a,x,y) a.begin()+x,a.begin()+y
#define span_all(a) a.begin(),a.end()
#define len(x) (x.size())
#define last(x) (*(x.end()-1))

using namespace std;

#define EPS 0.0000000001
#define fequals(a,b) (fabs((a) - (b)) < EPS)

class Vector2 {
public:
  double x, y;
  
  Vector2(double x = 0, double y = 0): x(x), y(y) {}
  
  Vector2 operator + (const Vector2 v) const { return Vector2(x + v.x, y + v.y); }
  Vector2 operator - (const Vector2 v) const { return Vector2(x - v.x, y - v.y); }
  Vector2 operator * (const double k) const { return Vector2(x * k, y * k); }
  Vector2 operator / (const double k) const { return Vector2(x / k, y / k); }
  
  double length() { return sqrt(norm()); }
  double norm() { return x * x + y * y; }
  double dot (Vector2 const v) { return x * v.x + y * v.y; }
  double cross (Vector2 const v) { return x * v.y - y * v.x; }
  
  bool parallel(Vector2 &other) {
    return fequals(0, cross(other));
  }
  
  bool orthogonal(Vector2 &other) {
    return fequals(0, dot(other));
  }
  
  bool operator < (const Vector2 &v) {
    return x != v.x ? x < v.x : y < v.y;
  }
  
  bool operator == (const Vector2 &v) {
    return fabs(x - v.x) < EPS && fabs(y - v.y) < EPS;
  }
};

ostream & operator << (ostream & out, Vector2 const & v) { 
  out<< "Vector2(" << v.x << ", " << v.y << ')';
  return out;
}

istream & operator >> (istream & in, Vector2 & v) { 
  double x, y;
  in >> x;
  in >> y;
  v.x = x;
  v.y = y;
  return in;
}

Int contains(Vector2 polygon[], int N, Vector2 &point) {
  bool in = false;
  loop(n,0,N) {
    Vector2 a = polygon[n] - point;
    Vector2 b = polygon[(n+1) % N] - point;
    if (fabs(a.cross(b)) < EPS && a.dot(b) < EPS) return 1;
    if (a.y > b.y) swap(a, b);
    if (a.y < EPS && b.y > EPS && a.cross(b) > EPS) in = !in;
  }
  
  return in ? 2 : 0;
}

シュン

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多角形の点内包判定

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