# 目次

• 目次
• 問題
• 解説
• 計算量
• 解答１（より少ないスペース）
• 解答 2

# 問題

http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/description.jsp

# 解説

コインの集合と支払う金額が与えれられて、支払える最小のコイ数を求める問題.
再帰的にトップダウンで計算していくと重複する計算が大量に発生するので、漸化式を立ててボトムアップで計算していく.

ベースケースとして、コインを１枚も使わない場合は支払い不可能.
なので仮に無限とする.
また、金額が0の場合はコインを１枚も使わずに支払えるので必要枚数0.

以下のテーブルは、金額が15でコインが1 2 7 8 12 50であるときの例.

0	10001	10001	10001	10001	10001	10001	10001	10001	10001	10001	10001	10001	10001	10001	10001	
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	
0	1	1	2	2	3	3	4	4	5	5	6	6	7	7	8	
0	1	1	2	2	3	3	1	2	2	3	3	4	4	2	3	
0	1	1	2	2	3	3	1	1	2	2	3	3	4	2	2	
0	1	1	2	2	3	3	1	1	2	2	3	1	2	2	2	
0	1	1	2	2	3	3	1	1	2	2	3	1	2	2	2

# 計算量

$O(MN)$

# 解答１（より少ないスペース）

必要メモリ: $O(N)$

// C++ 14
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <list>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <math.h>

#define ll long long
#define Int int
#define loop(x, start, end) for(Int x = start; x < end; x++)
#define loopdown(x, start, end) for(int x = start; x > end; x--)
#define rep(n) for(int x = 0; x < n; x++)
#define span(a,x,y) a.begin()+x,a.begin()+y
#define span_all(a) a.begin(),a.end()
#define len(x) (x.size())
#define last(x) (*(x.end()-1))

using namespace std;

#define W_MAX 10000
#define INF 10001
#define N_MAX 50001
#define M_MAX 21

Int N, M;
Int COINS[M_MAX+1];
Int table[N_MAX+1];

Int min_coin() {
  loop(n,0,N+1) {
    table[n] = INF;
  }
  table[0] = 0;
  
  loop(m,1,M+1) {
    Int coin = COINS[m];
    loop(n,coin,N+1) {
      table[n] = min(table[n], table[n-coin] + 1);
    }
  }
  
  return table[N];
}

int main(void) {
  cin >> N >> M;
  COINS[0] = 0;
  loop(i,1,M+1) {
    cin >> COINS[i];
  }
  
  cout << min_coin() << endl;
}

# 解答 2

必要メモリ: $O(MN)$

// C++ 14
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <list>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <math.h>

#define ll long long
#define Int int
#define loop(x, start, end) for(Int x = start; x < end; x++)
#define loopdown(x, start, end) for(int x = start; x > end; x--)
#define rep(n) for(int x = 0; x < n; x++)
#define span(a,x,y) a.begin()+x,a.begin()+y
#define span_all(a) a.begin(),a.end()
#define len(x) (x.size())
#define last(x) (*(x.end()-1))

using namespace std;

#define W_MAX 10000
#define INF 10001
#define N_MAX 50001
#define M_MAX 21

Int N, M;
Int COINS[M_MAX+1];
Int table[M_MAX+1][N_MAX+1];

Int min_coin() {
  loop(n,0,N+1) {
    table[0][n] = INF;
  }
  loop(m,0,M+1) {
    table[m][0] = 0;
  }
  
  loop(m,1,M+1) {
    Int coin = COINS[m];
    loop(n,1,N+1) {
      if (n - coin < 0) {
        table[m][n] = table[m-1][n];
        continue;
      }
      
      table[m][n] = min(table[m-1][n], table[m][n-coin] + 1);
    }
  }
  
  return table[M][N];
}

int main(void) {
  cin >> N >> M;
  COINS[0] = 0;
  loop(i,1,M+1) {
    cin >> COINS[i];
  }
  
  cout << min_coin() << endl;
}