目次

• 問題
  • 入力
  • 出力
• 解説
• 計算量
• 解答

# 問題

https://atcoder.jp/contests/abc002/tasks/abc002_4

# 入力

$N M$
$x_1 y_1$
$x_2 y_2$
...
$x_M y_M$

• $N$ - 全人数
• $M$ - 関係性の数
• $x_i y_i$ - $x_i$と$y_i$が知り合いであることを示す.

# 出力

作成出来る最大の派閥を答える問題です.
派閥はお互いに直接知り合いであるメンバーからのみ作成出来ます.

# 解説

全人数が$N = 12$と小さいので全組み合わせを探索して解くことが出来ます.
各メンバーについてそれぞれ派閥に入れるか入れないかの２択する深さ優先探索で全探索出来ます.
入れない場合はシンプルですが、入れる場合は派閥に入れる条件を満たしているかのチェックが必要です.

派閥に入れる条件というのは、既存の派閥メンバー全員と直接知り合いであることです.
知り合いの知り合いのように間接的ではいけません.
これは入力の知り合い関係を無向グラフとして保持しておけば簡単に分かります.
メンバー全員との間に辺が存在するかをチェックするだけです.

深さが最後まで到達したらそこまでに追加してメンバーの数を数えて、その内最大のものが答えです.

余談ですが、この問題は最大クリーク問題と呼ばれる問題です.
グラフ中の頂点集合のうち、任意の頂点間辺が存在する頂点集合の最大のものを見つける問題です.
このように抽象的な問題として捉えておくと応用が効きやすいです.

# 計算量

$O(2^N)$

# 解答

// C++ 14
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <list>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <math.h>

#define ll long long
#define Int int
#define loop(x, start, end) for(Int x = start; x < end; x++)
#define loopdown(x, start, end) for(int x = start; x > end; x--)
#define rep(n) for(int x = 0; x < n; x++)
#define span(a,x,y) a.begin()+x,a.begin()+y
#define span_all(a) a.begin(),a.end()
#define len(x) (x.size())
#define last(x) (*(x.end()-1))

using namespace std;

#define MAX_N 12
#define MAX_M (MAX_N * (MAX_N-1) / 2)

Int N, M;
Int G[MAX_N][MAX_N];

void input() {
  Int x, y;
  cin >> N >> M;
  loop(x,0,MAX_N) {
    loop(y,x + 1,MAX_N) {
      G[x][y] = G[y][x] = 0;
    }
  }
  loop(m,0,M) {
    cin >> x >> y;
    x--, y--;
    G[x][y] = G[y][x] = 1;
  }
}

Int dfs(Int n, vector<Int> members) {
  if (n >= N) return members.size();
  Int max_ = -1;
  // i) このメンバーはスキップ
  max_ = max(max_, dfs(n + 1, members));
  // ii) このメンバーを可能なら追加する
  bool shouldAdd = true;
  // shouldAdd <=> nが全派閥メンバーと直接知り合いである
  for (auto m: members) {
    if (G[m][n] == 0 || G[n][m] == 0) shouldAdd = false;
  }
  members.push_back(n);
  if (shouldAdd) max_ = max(max_, dfs(n + 1, members));
  return max_;
}

void solve() {
  vector<Int> members;
  cout << dfs(0, members) << endl;
}

int main(void) {
  input();
  solve();
  return 0;
}