ARC005 C - 器物損壊！高橋君

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atcoder

目次

# 問題

https://atcoder.jp/contests/arc005/tasks/arc005_3

# 入力

HWH W
c0,0c0,1...c0,W−1c_{0,0} c_{0,1} ... c_{0,W-1}
...
cH−1,0cH−1,1...cH−1,W−1c_{H-1,0} c_{H-1,1} ... c_{H-1,W-1}.

  • HWH W - マップの縦・横の長さ
  • cic_i - マスの種類 .は道、sはスタート地点、gはゴール、#は塀

# 出力

sからgまで到着することが可能かどうかを答える問題です.
#は通ることが出来ませんが、2回だけ無視して通過することが出来ます.

# 解説

まず迷路系なので幅優先探索が適していそうです.
残弾数2でスタートし、塀を壊すたびに−1-1して、4近傍を移動していきます.
ゴールに到達出来たら"可能"、出来なければ"不可能"とします.
一度訪れたマスであっても
これは答えとしては正解ですが、計算量が心配です.

一度の移動で4マス可能性があり、それを全マスなので最大H×WH \times W繰り返します.

4HW4^{HW}

H×WH \times Wの最大値が5002500^2なのでこれは天文学的数字になり間に合いません.

そこでスタート地点からの距離を記録して行くことにしましょう.
距離といってもここでは移動回数ではなく、壁を壊した回数とします.
0からスタートし壁を通るたびに+1+1します.
すでに訪問済みのマスに到着した場合は、より短い距離で到着した場合のみ探索を継続します.
その他の場合は無駄なので探索を打ち切ります.

探索終了後gのマスの距離が2以下であれば2回の塀の破壊で到着出来るということになります.

計算量の見積もりが難しいので適当にいくつかのサイズのマップを作って試してみます.
それぞれマップの全マス数とマス目の全訪問数です.

マップサイズ（HW） 全訪問回数
100 264
400 1554
800 3986
1600 8610

となります.
HWHWが増えるにつれて若干線形よりも早く増加しています.
なので仮にO(Nlog⁡N)O(N \log N)とおくと、O(HWlog⁡HWO(HW \log{HW}です.
HWHWの最大値は5002500^2なので10710^7程度で余裕で間に合います.

答えだけを知りたい場合はここまで十分です.
ここからは蛇足です.

計算量が見積もりにくい解答は厄介です.
実際に実行してみるまで間に合うか確信が持てないからです.

なんとか同じマス目に移動しないように答えを見つけられればすべてのマス目に１度ずつ訪問することにります.
計算量としてはHWH Wです.
そこでこの問題を多点スタートの幅優先探索BFSとして考えると見通しが良くなります.
最初はsの１点から開始するので１点スタートです.
BFSを開始する前にそのスタートベクターを一度空にし、壁に出会うたびにその壁をスタートベクターに追加していきます.
すべてのマスの探索が完了したらスタートベクターにはスタート地点から到達出来るすべての壁の座標が入っています.
もう一度先程追加していったスタートベクターのそれぞれの座標からBFSを開始します.
訪問履歴も空にしておく必要があります.
2回目の完了時にはスタートベクターにはスタート地点から壁を1つだけ壊して到達出来るすべての壁の座標が格納されています.
3回目完了時には壁２つを乗り越えた場合に行ける範囲をすべて網羅しているはずです.
この３回で見つけられなければゴールへ到達不可能ということです.

最も重要なのは、BFSの計算量もベクターを空にする計算量もHWH Wですが、BFS以外のO(HW)O(HW)の操作がすべてBFSの外で行われているということです.
なので全計算量はたかだかHWH Wの定数倍に収まります.

HW+HW+HW...+HW=C×HWHW + HW + HW ... + HW = C \times HW

# 計算量

# バージョン1

実行時間: 439ms

O(HWlog⁡HW)O(H W \log{H W})

# バージョン2

実行時間: 34ms

O(HW)O(H W)

# 解答

# バージョン1

// C++ 14
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <list>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <math.h>

#define ll long long
#define Int int
#define loop(x, start, end) for(Int x = start; x < end; x++)
#define loopdown(x, start, end) for(int x = start; x > end; x--)
#define rep(n) for(int x = 0; x < n; x++)
#define span(a,x,y) a.begin()+x,a.begin()+y
#define span_all(a) a.begin(),a.end()
#define len(x) (x.size())
#define last(x) (*(x.end()-1))

using namespace std;

#define EPS 0.0000000001
#define fequals(a,b) (fabs((a) - (b)) < EPS)

class Vector2 {
public:
  double x, y;
  
  Vector2(double x = 0, double y = 0): x(x), y(y) {}
  
  Vector2 operator + (const Vector2 v) const { return Vector2(x + v.x, y + v.y); }
  Vector2 operator - (const Vector2 v) const { return Vector2(x - v.x, y - v.y); }
  Vector2 operator * (const double k) const { return Vector2(x * k, y * k); }
  Vector2 operator / (const double k) const { return Vector2(x / k, y / k); }
  
  double length() { return sqrt(norm()); }
  double norm() { return x * x + y * y; }
  double dot (Vector2 const v) { return x * v.x + y * v.y; }
  double cross (Vector2 const v) { return x * v.y - y * v.x; }
  
  bool parallel(Vector2 &other) {
    return fequals(0, cross(other));
  }
  
  bool orthogonal(Vector2 &other) {
    return fequals(0, dot(other));
  }
  
  bool operator < (const Vector2 &v) {
    return x != v.x ? x < v.x : y < v.y;
  }
  
  bool operator == (const Vector2 &v) {
    return fabs(x - v.x) < EPS && fabs(y - v.y) < EPS;
  }
};

ostream & operator << (ostream & out, Vector2 const & v) { 
  out<< "Vector2(" << v.x << ", " << v.y << ')';
  return out;
}

istream & operator >> (istream & in, Vector2 & v) { 
  double x, y;
  in >> x;
  in >> y;
  v.x = x;
  v.y = y;
  return in;
}
#define MAX_H 500
#define INFTY (MAX_H*MAX_H)

Int H, W;
Vector2 s, g;
char c_;
vector<bool> M(MAX_H * MAX_H, false);
vector<Int> dist(MAX_H*MAX_H, INFTY);

Int at(Int x, Int y) {
  return y*W+x;
}

Int at(Vector2 &v) {
  return v.y*W+v.x;
}

bool isValid(Vector2 &v) {
  return !(v.x < 0 || v.x >= W || v.y < 0 || v.y >= H);
}

void input() {
  cin >> H >> W;
  loop(h,0,H) {
    loop(w,0,W) {
      cin >> c_;
      if (c_ == '#') {
        M[at(w, h)] = true;
      } else if (c_ == 's') {
        s.x = w, s.y = h;

      } else if (c_ == 'g') {
        g.x = w, g.y = h;
      }
    }
  }
  M.resize(H * W);
}

vector<Vector2> udlr = { {0, 1}, {0, -1}, {-1, 0}, {1, 0} };

bool success(Vector2 &v) {
  return v == g;
}

void bfs() {
  queue<Vector2> Q;
  Q.push(s);
  dist.at(at(s)) = 0;

  while (Q.size()) {
    Vector2 u = Q.front(); Q.pop();
    for (auto dxdy: udlr) {
      Vector2 v = u + dxdy;
      if (!isValid(v)) continue;
      Int cost = dist.at(at(u)) + M.at(at(v));
      // 1) INFTYなら未訪問 -> 継続
      // 2) dist > cost: すでに悪いの経路が探索済み -> 継続
      // 3) dist <= cost: より良い経路が探索済み -> 終了
      if (dist.at(at(v)) > cost) {
        dist.at(at(v)) = cost;
        Q.push(v);
      }
    }
  }
}

void solve() {
  bfs();
  if (dist.at(at(g)) <= 2) cout << "YES";
  else cout << "NO";
  cout << endl;
}

int main(void) {
  input();
  solve();
  return 0;
}

# バージョン2

#define MAX_H 500
#define INFTY (MAX_H*MAX_H)

Int H, W;
Vector2 g;
char c_;
vector<bool> M(MAX_H * MAX_H, false);
vector<Int> dist(MAX_H*MAX_H, INFTY);
vector<Vector2> starts;

#define N_BFS 3

Int at(Int x, Int y) {
  return y*W+x;
}

Int at(Vector2 &v) {
  return v.y*W+v.x;
}

bool isValid(Vector2 &v) {
  return !(v.x < 0 || v.x >= W || v.y < 0 || v.y >= H);
}

void input() {
  cin >> H >> W;
  loop(h,0,H) {
    loop(w,0,W) {
      cin >> c_;
      if (c_ == '#') {
        M[at(w, h)] = true;
      } else if (c_ == 's') {
        starts.push_back(Vector2(w, h));

      } else if (c_ == 'g') {
        g.x = w, g.y = h;
      }
    }
  }
  M.resize(H * W);
}

vector<Vector2> udlr = { {0, 1}, {0, -1}, {-1, 0}, {1, 0} };

bool success(Vector2 &v) {
  return v == g;
}

bool bfs() {
  queue<Vector2> Q;
  rep(N_BFS) {
    loop(n,0,dist.size()) dist[n] = INFTY;
    for(auto v: starts) {
      Q.push(v);
      dist.at(at(v)) = 0;
    }
    starts.clear();

    while (Q.size()) {
      Vector2 u = Q.front(); Q.pop();
      for (auto dxdy: udlr) {
        Vector2 v = u + dxdy;
        if (!isValid(v)) continue;
        if (dist.at(at(v)) < INFTY) continue;
        dist.at(at(v)) = dist.at(at(u)) + 1;
        if (success(v)) return true;
        if (M.at(at(v))) starts.push_back(v);
        else Q.push(v);
      }
    }
  }
  return false;
}

void solve() {
  if (bfs()) cout << "YES";
  else cout << "NO";
  cout << endl;
}

int main(void) {
  input();
  solve();
  return 0;
}

シュン

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